Bài tập 9, § 9

Cho G là phủ phổ quát của $\mathbf{SL}(2, \mathbf{R})$. Ta đồng nhất hạt nhân của cấu xạ chính tắc G → $\mathbf{SL}(2, \mathbf{R})$ với $\mathbf{Z}$ (§ 6, Bài tập 2). Cho a là một phần tử của $\mathbf{T}^n$ mà các lũy thừa của nó là trù mật khắp nơi trong $\mathbf{T}^n$ (Tôpô tổng quát, Chương VII, § 1, Hệ quả 2 của Mệnh đề 7). Cho D là nhóm con rời rạc của G × $\mathbf{T}^n$ sinh bởi (1, a). Cho H = (G × $\mathbf{T}^n$)/D. Khi đó

và nhóm con nguyên H' của H có đại số Lie $\mathfrak{sl}(2, \mathbf{R})$ là đẳng cấu với G và trù mật trong H. D^nH' = H' với mọi n ≥ 0.