Exercice 10, § 1

Soit $\mathfrak{A}_n$ le groupe alterné d’ordre $n$, formé des permutations $w \in \mathfrak{S}_n$ de signature égale à 1. Montrer que $\mathfrak{A}_n$ est le groupe des commutateurs de $\mathfrak{S}_n$ (utiliser les exerc. 4 et 9). Pour tout entier $i$ avec $1 \leq i \leq n - 2$, posons $u_i = s_i s_{i+1}$ (avec les notations de l’exerc. 4). Montrer que la famille $(u_i)$ et les relations $u_i^3 = 1, u_i^2 = 1$ pour $i \geq 2, (u_i u_{i+1})^3 = 1$ pour $1 \leq i \leq n - 3$ et $u_i u_j = u_j u_i$ pour $1 \leq i \leq n - 4$ et $i + 2 \leq j \leq n - 2$, forment une présentation du groupe $\mathfrak{A}_n$ (utiliser l’exerc. 9).