Exercice 11, § 1

Soit $(W, S)$ un système de Coxeter. Soit $\Gamma_\infty$ le graphe dont l’ensemble des sommets est $S$, deux sommets $s, s'$ étant joints par une arête si et seulement si $m(s, s') \neq \infty$. Soient $S_\alpha$ les composantes connexes de $\Gamma_\infty$. Montrer que $W$ peut être identifié au produit libre des $W_{S_\alpha}$. En particulier, tout $w \in W$ s’écrit de façon unique comme un produit $w_1 \ldots w_h, w_i \neq 1, w_i$ appartenant à un $W_{S_{\alpha_i}}$, et $\alpha_i \neq \alpha_{i+1}$ pour $1 \leq i \leq h - 1$; montrer que la longueur de $w$ est la somme des longueurs des $w_i$.*