Exercice 16, § 1

Soit $(W, S)$ un système de Coxeter. Pour $s \in S$, on désigne par $W^{(s)}$ le sous-groupe $W_{S-\{s\}}$ de $W$, par $A$ l’ensemble des parties de $W$ de la forme $wW^{(s)}$ pour $w \in W$ et $s \in S$, et par $\mathfrak{G}$ l’ensemble des parties de $A$ de la forme $C_w = \{wW^{(s)}|s \in S\}$ pour $w \in W$, qu’on appelle chambres de $A$ (exerc. 15).

a) Montrer que l’application $w \mapsto C_w$ est une bijection de $W$ sur $\mathfrak{G}$.

b) Montrer que pour que deux chambres distinctes $C_w$ et $C_{w'}$ soient mitoyennes, il faut et il suffit qu’il existe $s \in S$ tel que $w' = ws$. En déduire que $A$ (muni de $\mathfrak{G}$) est un appartement (exerc. 15), qu’on appelle l’appartement de $(W, S)$. Montrer que la longueur d’une galerie minimale d’extrémités $C_w$ et $C_{w'}$ est égale à $l_s(w^{-1}w')$.

c) Soit $\mathfrak{F}$ l’ensemble des facettes de $A$ et soit $F \in \mathfrak{F}$. Montrer qu’il existe une partie $X$ et une seule de $S$ et un élément $w \in W$ tels que $wW_X = \bigcap_{i \in F} i$. On dit alors que $F$ est de type $X$. Montrer que $F$ est de codimension égale au cardinal de $X$. Montrer que l’application $j : F \mapsto \bigcap_{i \in F} i$ est une bijection strictement décroissante (pour l’inclusion) de $\mathfrak{F}$ sur l’ensemble des parties de $W$ de la forme $wW_X$ pour $w \in W$ et $X \subset S$. Montrer que toute facette de type $X$ contient une facette de type $Y$ et une seule pour tout $Y$ tel que $X \subset Y \subset S$.

d) On fait opérer $W$ sur $A$ grâce aux translations à gauche et on pose $C = C_e$. Montrer que $W$ opère de manière simplement transitive sur $\mathfrak{G} (*)$. Soient $C_1, \ldots, C_n$ des chambres de $A$. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) la suite $\Gamma = (C_0 = C, C_1, \ldots, C_n)$ est une galerie injective;

(ii) il existe une suite $s = (s_1, \ldots, s_n)$ d’éléments de $S$ telle que $C_j = t_j(C_{j-1})$ pour $1 \leq j \leq n$, où $t_j$ est l’élément de $\Phi(s)$ défini au n° 4, formule (11).

Montrer que si ces conditions sont satisfaites, la suite $s$ est unique et que $C_n = s_1 \ldots s_n(C)$. Montrer que la galerie $\Gamma$ est minimale si et seulement si la suite $s(\Gamma) = s$ est une décomposition réduite de $w = s_1 \ldots s_n$.

e) Soit $T$ la réunion des conjugués de $S$. Pour $t \in T$, on désigne par $L_t$ et on appelle mur défini par $t$ l’ensemble des points de $A$ invariants par $t$. Montrer que $L_t$ est réunion de cloisons et que, pour qu’une cloison $F$ soit contenue dans $L_t$, il faut et il suffit que $j(F)$ soit de la forme $wW_{\{s\}}$ avec $t = wsw^{-1}$. En déduire que, pour toute cloison $F$, il existe un élément $t = t(F) \in T$ et un seul tel que $F \subset L_t$ : on dit que $L_t$ est le support de $F$.

Montrer que si $w(L_t) = L_t$ (pour $w \in W$), on a $w = 1$ ou $w = t$.

f) Soient $w', w'' \in W$. Posons $C' = w'(C), C'' = w''(C)$ et soit $\Gamma = (C_0 = C', C_1, \ldots, C_n = C'')$ une galerie injective d’extrémités $C'$ et $C''$. Soit $t_j$ l’élément de $T$ définissant le mur support de la cloison $C_j \cap C_{j-1}$ (pour $1 \leq j \leq n$). Montrer que la suite $\Psi(\Gamma) = ({w'}^{-1}t_jw')_{1 \leq j \leq n}$ coïncide avec la suite $\Phi(s({w'}^{-1}(\Gamma)))$. Pour $t \in T$, soit $n(\Gamma, t)$ le nombre de fois que ${w'}^{-1}tw'$ intervient dans $\Psi(\Gamma)$. Déduire du lemme 1 du n° 4 que le nombre $(-1)^{n(\Gamma, t)}$ ne dépend que de $C'$ et $C''$ et non de $\Gamma$ : on le notera $\eta(C', C'', t)$. Montrer que la relation $\eta(C', C'', t) = 1$ est une relation d’équivalence entre $C'$ et $C''$, admettant deux classes d’équivalences permutées par $t$. On désignera par $\mathfrak{G}^+(t)$ celle de ces deux classes qui contient $C$ et par $\mathfrak{G}^-(t)$ l’autre.

Montrer que, pour $w \in W$ et $s \in S$, la chambre $w(C)$ appartient à $\mathfrak{G}^+(s)$ si et seulement si $l(sw) > l(w)$.

(*) Soient $H$ un groupe et $E$ un ensemble où opère $H$. On dit que $H$ opère de manière simplement transitive sur $E$ si l’application $h \mapsto h.x$ est une bijection de $H$ sur $E$ pour tout $x \in E$; on dit encore que $E$ est un ensemble homogène principal sous $H$.

g) Soit $A^+(t)$ (resp. $A^-(t)$) la réunion des chambres appartenant à $\mathfrak{S}^+(t)$ (resp. $\mathfrak{S}^-(t)$) (pour $t \in T$). Montrer que $A^+(t) \cap A^-(t) = L_t$. (Pour montrer que $A^+(t) \cap A^-(t) \subset L_t$, on se ramènera au cas $t \in S$. Si $a \in A^+(t) \cap A^-(t)$, on posera $a = w W^{(s)}$, avec $s \in S$ et $w$ étant ($\varnothing, S - \{ s \}$)-réduit (exerc. 3). Si $w(C) \in \mathfrak{S}^-(t)$, on a $l(tw) < l(w)$ et $w = ts_1 \ldots s_q$ avec $s_j \in S$ et $l(w) = q + 1$. Comme $a \in A^-(t)$, il existe $x \in W^{(s)}$ tel que $wx(C) \in \mathfrak{S}^+(t)$; on a alors

mais $twx = s_1 \ldots s_q x$, d’où une contradiction. On a donc $w(C) \in \mathfrak{S}^+(t)$ et $l(tw) = 1 + l(w)$; si $x \in W^{(s)}$ est tel que $l(twx) < l(wx)$, on déduit de l’exerc. 1 que $twx = wx'$ avec $x' \in W^{(s)}$, d’où $ta = a$ et $a \in L_t$.

Les sous-ensembles $A^+(t)$ et $A^-(t)$ seront appelés les moitiés de $A$ déterminées par le mur $L_t$. On dira que deux points de $A$ sont du même côté (resp. strictement de part et d’autre) de $L_t$ s’ils appartiennent (resp. n’appartiennent pas tous deux) à l’une de ces moitiés. Toute facette est contenue dans l’une des moitiés déterminées par $L_t$. Si deux facettes sont contenues dans des moitiés différentes, on dira qu’elles sont de part et d’autre de $L_t$, ou encore que $L_t$ les sépare.

h) Soit $w \in W$. Montrer que $l(w)$ est égal au nombre de murs séparant les chambres $C$ et $w(C)$.

i) Montrer que l’application $\varphi$ qui à la moitié $A^+(t)$ (resp. $A^-(t)$) fait correspondre le couple $(1, t)$ (resp. $(-1, t)$) est une bijection de l’ensemble $\mathfrak{M}$ des moitiés de $A$ sur l’ensemble $R = \{ 1, -1 \} \times T$ (cf. n° 4). Reprenons les notations du lemme 1 du n° 4 : montrer que $\varphi(w(\mathfrak{M})) = U_w(\varphi(\mathfrak{M}))$ quels que soient $w \in W$ et $M \in \mathfrak{M}$.