Exercice 1, § 2

Soient G un groupe, B et N deux sous-groupes de G et S une partie de W = N/(B ∩ N); pour tout w ∈ W, on pose C(w) := BwB. On suppose que les conditions (T1) et (T2) de la définition 1 du n° 1 sont vérifiées, que, quels que soient s ∈ S et w ∈ W, l’une au moins des deux relations C(s).C(w) = C(sw) et C(s).C(sw) = C(w) est vérifiée et que B ∪ C(s) est un sous-groupe de G pour tout s ∈ S. Montrer que la condition (T3) est vérifiée. Si de plus B est d’indice ≥ 3 dans B ∪ C(s), alors (G, B, N, S) est un système de Tits.