Exercice 11, § 2

Soient $(W, S)$ un système de Coxeter, et I un immeuble numéroté par $S$ (§ 1, exerc. 20). Si $\Gamma = (C_0, \ldots, C_n)$ est une galerie injective, on appelle type de $\Gamma$ et on note $s(\Gamma)$ la suite $(s_1, \ldots, s_n)$ d’éléments de $S$ telle que la cloison $C_{i-1} \cap C_i$ soit de type $S - \{s_i\}$ (pour $1 \leq i \leq n$). On dit que I est un $(W, S)$-*immeuble* si les conditions (WI 1) et (WI 2) de l’exerc. 10 sont satisfaites.

Soit I un $(W, S)$-immeuble spacieux (cf. exerc. 10 g)) et soit $G$ un groupe d’automorphismes permis de I vérifiant la condition suivante :

(G0) Quelles que soient les trois chambres distinctes $C, C'$ et $C''$ contenant une même cloison, il existe un élément $g$ de $G$ tel que $g(C) = C$ et $g(C') = C''$.

On choisit une chambre $C$ de I et on note $B$ le stabilisateur de $C$ dans $G$.

a) Montrer que $G$ opère transitivement sur l’ensemble des chambres de I.

b) Soient $C'$ et $C''$ deux chambres. Montrer que $t(C, C') = t(C, C'')$ si et seulement si il existe $b \in B$ tel que $C'' = b(C')$ (si $t(C, C') = t(C, C'') = w$, considérer une décomposition réduite $s$ de $w$ et une galerie minimale $\Gamma'$ (resp. $\Gamma''$) d’extrémités $C$ et $C'$(resp. $C''$) et de type $s$. Raisonner par récurrence sur $l(w)$ en utilisant (G0) et a)). En déduire une bijection $w \longmapsto B(w)$ de $W$ sur $B|G/B$.

c) Soit $F$ la cloison de $C$ de type $S - \{s\}$. Montrer que le stabilisateur de $F$ dans $G$ est égal à $B \cup B(s)$ (si $g(F) = F$, on a $t(C, g(C)) = 1$ ou $s$). Montrer que $B \subset B(s)B(s)$ (utiliser (G0)).

d) Montrer que $B$ est un sous-groupe de Tits de $G$ et que le système de Coxeter de $(G, B)$ est canoniquement isomorphe à $(W, S)$. (Soient $w \in W$ et $s \in S$ tels que $l_s(sw) = l_s(w) + 1$. Soit $g \in B(w)$ et $u \in B(s)$; soient $s = (s_1, \ldots, s_n)$ une décomposition réduite de $w$, $(C = C_0, C_1, \ldots, C_n = g(C))$ une galerie minimale de type $s$ et choisissons un élément $\bar{s}_i \in B(s_i)$; montrer, en utilisant (G0), qu’il existe des éléments $b_i \in B$ tels que $C_i = b_1 \bar{s}_1 \ldots b_i \bar{s}_i(C)$. Poser $C'_i = u(C_{i-1})$ et montrer que la galerie $(C, u(C), u(C_1), \ldots, u(C_n))$ est de type $(s, s)$, donc minimale. En déduire que $ug \in B(sw)$ et que $B(s)B(w) = B(sw)$. Si maintenant $l(sw) = l(w) - 1$, poser $w' = sw$: on a $B(s)B(w') = B(w)$, d’où

enfin comme $B \subset B(s)B(s)$, on a aussi $B(w') = B(sw) \subset B(s)B(w).$

e) Montrer qu’il existe un isomorphisme et un seul de l’immeuble associé à $(G, B)$ (exerc. 10) sur I, compatible avec l’action de $G$ et transformant la chambre canonique $C_e$ en $C$.