Bài tập 11, § 2

Cho $(W, S)$ là một hệ Coxeter và I là một building được đánh số bởi S ($§ 1$, Exerc. 20). Nếu $\Gamma = (C_0, \ldots, C_n)$ là một đường đi khởi đầu đơn ánh, kiểu của $\Gamma$, ký hiệu bởi $s(\Gamma)$, là dãy $(s_1, \ldots, s_n)$ các phần tử của S sao cho panel $C_{i-1} \cap C_i$ có kiểu $S - \{s_i\}$ (với $1 \leq i \leq n$). Nếu các điều kiện (WI 1) và (WI 2) của Exerc. 10 được thỏa mãn, I được gọi là một $(W, S)$-*building*.

Cho I là một $(W, S)$-building rộng rãi (xem Exerc. 10 g)) và cho G là một nhóm các tự đẳng cấu được phép của I thỏa mãn điều kiện sau:

(G₀) Cho ba phòng phân biệt C, C' và C'' chứa cùng một panel, tồn tại một phần tử g ∈ G sao cho g(C) = C và g(C') = C''.

Chọn một phòng C của I và ký hiệu bởi B nhóm ổn định của C trong G.

a) Chứng minh rằng G tác động bắc cầu trên tập hợp các phòng của I.

b) Cho C' và C'' là hai phòng. Chứng minh rằng t(C, C') = t(C, C'') khi và chỉ khi tồn tại b ∈ B sao cho C'' = b(C') (nếu t(C, C') = t(C, C'') = w, xét một phân tích rút gọn s của w và một đường đi cực tiểu Γ' (tương ứng Γ'') với các đầu mút C và C' (tương ứng C'') và có kiểu s. Lập luận bằng quy nạp theo l(w) sử dụng (G₀) và a)). Suy ra rằng tồn tại một song ánh w ↦ B(w) từ W đến $B\backslash G/B$.

c) Cho F là mặt của C có kiểu S - {s}. Chứng minh rằng nhóm ổn định của F trong G bằng B ∪ B(s) (nếu g(F) = F, thì t(C, g(C)) = 1 hoặc s). Chứng minh rằng B ⊂ B(s)B(s) (sử dụng (G₀)).

d) Chứng minh rằng B là một nhóm con Tits của G và hệ Coxeter của (G, B) đẳng cấu một cách chính tắc với (W, S). (Cho w ∈ W và s ∈ S sao cho l_S(sw) = l_S(w) + 1. Cho g ∈ B(w) và u ∈ B(s); cho s = (s_1, ..., s_n) là một phân tích rút gọn của w, (C = C_0, C_1, ..., C_n = g(C)) là một đường đi cực tiểu có kiểu s và chọn một phần tử s_i ∈ B(s_i); chứng minh, bằng cách sử dụng (G₀), rằng tồn tại các phần tử b_i ∈ B sao cho C_i = b_1 s_1 ... b_i s_i(C). Đặt C'_i = u(C_{i-1}) và chứng minh rằng đường đi (C, u(C), u(C_1), ..., u(C_n)) có kiểu (s, s), và do đó là cực tiểu. Suy ra rằng ug ∈ B(sw) và B(s)B(w) = B(sw). Nếu bây giờ l(sw) = l(w) - 1, đặt w' = sw: khi đó B(s)B(w') = B(w) và do đó

cuối cùng, vì B ⊂ B(s)B(s), ta cũng có B(w') = B(sw) ⊂ B(s)B(w).)

e) Chứng minh rằng tồn tại một đẳng cấu duy nhất từ building liên kết với (G, B) (Exerc. 10) đến I, tương thích với tác động của G và đưa phòng chính tắc C_e vào C.