Exercice 13, § 2

Reprenons les notations de l’exerc. 24 du § 1 : (I, $\mathscr{A}$) est un immeuble structuré spacieux muni d’un système de Coxeter (W, S) et d’un numérotage adaptés et $\mathfrak{J}$ est l’ensemble des isomorphismes permis de l’appartement $A_0$ associé à (W, S) sur les divers appartements de (I, $\mathscr{A}$). Soit de plus G un groupe d’automorphismes permis de I, conservant E : le groupe G opère alors sur $\mathfrak{J}$ et on suppose que G opère transitivement sur $\mathfrak{J}$.

On note C une chambre de I, A un appartement de $\mathscr{A}$ contenant C, $\varphi$ l’isomorphisme permis de $A_0$ sur A transformant la chambre canonique $C_e$ de $A_0$ en C, B le stabilisateur de C dans G et N le stabilisateur de A dans G.

a) Montrer que, si $A'$ et $A''$ sont deux appartements appartenant à $\mathscr{A}$, et contenant une même chambre, il existe $g \in G$ tel que $g(A') = A''$ et que $g(a) = a$ pour tout $a \in A' \cap A''$. Montrer que G est transitif sur l’ensemble des couples (A, C) où $A \in \mathscr{A}$ et où C est une chambre de A.

b) Montrer que l’application $n \mapsto \varphi^{-1} \circ n \circ \varphi$ est un homomorphisme surjectif de N sur W, de noyau $B \cap N$. On identifie ainsi $N/(B \cap N)$ et W.

c) Montrer que les conditions (WI 1) et (WI 2) de l’exerc. 10 d) sont satisfaites (utiliser le fait suivant : si un appartement de I contient deux chambres $C'$ et $C''$, il contient toute galerie minimale d’extrémités $C'$ et $C''$ ($§ 1$, exerc. 24 b))).

d) Montrer que la condition (G) de l’exerc. 10 g) (et a fortiori la condition (G_0) de l’exerc. 11) est satisfaite (avec les notations de (G), considérer un appartement $A'$ (resp. $A''$) de I contenant $C_0$ et $C'$ (resp. $C''$); montrer en utilisant l’exerc. 24 b) du § 1 que $\Gamma \subset A' \cap A''$ et utiliser a)).

e) Montrer que (G, B, N, S) est un système de Tits et que (I, $\mathscr{A}$) est canoniquement isomorphe à l’immeuble structuré numéroté associé (exerc. 12).