Bài tập 13, § 2

Ta dùng ký hiệu của Bài tập 24 của § 1: $(I, \mathscr{U})$ là một building có cấu trúc rộng rãi được trang bị một hệ Coxeter $(W, S)$ và một đánh số thích nghi và $\mathscr{J}$ là tập hợp các đẳng cấu được phép từ căn hộ $A_0$ liên kết với $(W, S)$ đến các căn hộ khác nhau của $(I, \mathscr{U})$. Hơn nữa, cho $G$ là một nhóm các tự đẳng cấu được phép của I, bảo toàn E: khi đó nhóm $G$ tác động lên $\mathscr{J}$ và ta giả thiết rằng $G$ tác động bắc cầu lên $\mathscr{J}$.

Ký hiệu C là một buồng của I, A là một căn hộ của $\mathscr{U}$ chứa C, $\varphi$ là một đẳng cấu được phép từ $A_0$ đến A đưa buồng chính tắc $C_e$ của $A_0$ lên C, B là nhóm ổn định của C trong G và N là nhóm ổn định của A trong G.

a) Hãy chỉ ra rằng, nếu $A'$ và $A''$ là hai căn hộ thuộc $\mathscr{U}$, và chứa cùng một buồng, thì tồn tại $g \in G$ sao cho $g(A') = A''$ và $g(a) = a$ với mọi $a \in A' \cap A''$. Hãy chỉ ra rằng $G$ tác động bắc cầu trên tập hợp các cặp $(A, C)$ trong đó $A \in \mathscr{U}$ và C là một buồng của A.

b) Hãy chỉ ra rằng ánh xạ $n \mapsto \varphi^{-1} \circ n \circ \varphi$ là một đồng cấu toàn ánh từ N lên W, với hạt nhân $B \cap N$. Do đó ta có thể đồng nhất $N/(B \cap N)$ với W.

c) Hãy chỉ ra rằng các điều kiện (WI 1) và (WI 2) của Bài tập 10 d) được thỏa mãn (dùng sự kiện sau: nếu một căn hộ của I chứa hai buồng $C'$ và $C''$, thì nó chứa mọi gallery cực tiểu có các đầu mút là $C'$ và $C''$ (§ 1, Bài tập 24 b))).

d) Hãy chỉ ra rằng điều kiện (G) của Bài tập 10 g) (và a fortiori điều kiện (G$_0$) của Bài tập 11) được thỏa mãn (với ký hiệu của (G), xét một căn hộ $A'$ (tương ứng. $A''$) của I chứa $C_0$ và $C'$ (tương ứng. $C''$); hãy chỉ ra bằng cách dùng Bài tập 24 b) của § 1 rằng $\Gamma \subset A'' \cap A''$ và dùng a)).

e) Hãy chỉ ra rằng $(G, B, N, S)$ là một hệ Tits và rằng $(I, \mathscr{U})$ đẳng cấu một cách chính tắc với building có cấu trúc được đánh số liên kết (Bài tập 12).