Exercice 14, § 2

Soient (G, B, N, S) un système de Tits, (I, $\mathscr{A}$) l’immeuble structuré numéroté associé (exerc. 12). Montrer que G, considéré comme groupe d’automorphismes de I, satisfait aux conditions de l’exerc. 13. Posons, avec les notations de l’exerc. 12, $A = \varphi_e(A_0)$ et $C = \varphi_e(C_e)$; montrer que B est le stabilisateur de C dans G. Soit $\tilde{N}$ le stabilisateur de A dans G : montrer que $\tilde{N}/(B \cap \tilde{N})$ s’identifie à W et que (G, B, $\tilde{N}$, S) est le système de Tits saturé associé à (G, B, N, S) (exerc. 5).