Exercice 16, § 2

Gardons les hypothèses et notations de l’exerc. 15.

a) Soient C et $C'$ deux chambres. Montrer qu’il existe une chambre $C''$ opposée à la fois à C et $C'$ (prendre $C''$ opposée à C telle que $t(C', C'')$ soit de plus grande longueur possible; si $t(C', C'') \neq w_0$, il existe une chambre $C_1$ mitoyenne de $C''$ telle que $l(t(C', C_1)) > l(t(C', C''))$; montrer en utilisant la condition (G) de l’exerc. 10 que l’on peut supposer que $C_1 \notin A_{(C, C'')}$ et que $C_1$ est alors opposée à C).

b) Soit $A \in \mathscr{U}$; montrer qu’il existe un automorphisme involutif (non nécessairement permis) $j_A$ et un seul transformant toute chambre de $A$ en la chambre opposée (utiliser l’exerc. 22 c) du ). Soient $F$ et $F'$ deux facettes de $I$; montrer que si $F' = j_A(F)$ pour un $A \in \mathscr{U}$ contenant $F$ et $F'$, alors il en est de même pour tout $A \in \mathscr{U}$ contenant $F$ et $F'$ (si $F, F' \in A \cap A'$, avec $A, A' \in \mathscr{U}$, considérer une chambre $C$ (resp. $C'$) de $A$ (resp. $A'$) contenant $F$ (resp. $F'$) et un $A'' \in \mathscr{U}$ contenant $C$ et $C'$ et utiliser (IS 3)). On dit alors que $F$ et $F'$ sont opposées. Montrer que, pour que deux facettes aient une opposée commune, il faut et il suffit qu’elles soient de même type $T$ et qu’une facette opposée à une facette de type $T$ est de type $w_0 T w_0^{-1}$

c) Soit $A_0$ l’appartement associé au système de Coxeter ($W, S$) ($§ 1$, exerc. 16) et soit $\mathfrak{J}$ l’ensemble des isomorphismes permis de $A_0$ sur les divers éléments de $\mathscr{U}$. Si $\alpha$ est une moitié de $A_0$, de mur $L$ ($§ 1$, exerc. 16) et si $\varphi \in \mathfrak{J}$, on dira que $\varphi(\alpha)$ est un demi-appartement de $I$, de mur $\varphi(L)$. Montrer que $\varphi(L)$ ne dépend alors que de $\varphi(\alpha)$ et non du couple $(\varphi, \alpha)$. Soient $D_1$ et $D_2$ deux demi-appartements distincts, de même mur $L$ : montrer qu’il existe $\varphi \in \mathfrak{J}$ et un mur $L_0$ de $A_0$ tels que $L = \varphi(L_0)$ et que les $D_i$ soient les images par $\varphi$ des deux moitiés de $A_0$ déterminées par $L_0$ (on choisira une cloison $F$ contenue dans $L$ et deux chambres $C_1$ et $C_2$, contenues l’une dans $D_1$ et d’autre dans $D_2$ et telles que $C_1$ contienne $F$ et $C_2$ la cloison opposée à $F$ dans $D_1$ (qui est aussi opposée à $F$ dans $D_2$) et on considérera l’appartement de $I$ contenant $C_1$ et $C_2$).