Bài tập 16, § 2

Ta giữ lại các giả thiết và ký hiệu của Bài tập 15.

a) Cho C và C' là hai phòng. Chứng minh rằng tồn tại một phòng $C''$ đối diện với cả C và C' (chọn $C''$ đối diện với C sao cho $t(C, C')$ có độ dài lớn nhất có thể; nếu $t(C', C'') \neq w_0$, thì tồn tại một phòng kề $C_1$ của $C''$ sao cho $l(t(C', C_1)) > l(t(C', C''))$; dùng điều kiện (G) của Bài tập 10 để chứng minh rằng ta có thể giả sử $C_1 \notin A_{(C, C'')}$ và khi đó $C_1$ đối diện với C).

b) Cho $a \in \mathscr{U}$; chứng minh rằng tồn tại một tự đẳng cấu đối hợp duy nhất $j_A$ (không nhất thiết là được phép) biến mỗi phòng của A thành phòng đối diện của nó (dùng Bài tập 22 c) của $§ 1$). Cho F và F' là hai mặt của I; chứng minh rằng nếu $F' = j_A(F)$ đối với một $A \in \mathscr{U}$ nào đó chứa F và F', thì điều tương tự đúng với mọi $A \in \mathscr{U}$ chứa F và F' (nếu $F, F' \in A \cap A'$, với $A, A' \in \mathscr{U}$, xét một phòng C (tương ứng C') của A (tương ứng A') chứa F (tương ứng F') và một $A'' \in \mathscr{U}$ chứa C và C' rồi dùng (SB 3)). Khi đó F và F' được gọi là đối diện nhau. Chứng minh rằng hai mặt có một mặt đối diện chung khi và chỉ khi chúng có cùng kiểu T và một mặt đối diện với một mặt kiểu T thì có kiểu $w_0 T w_0^{-1}$.

c) Cho $A_0$ là căn hộ liên kết với một hệ Coxeter $(W, S)$ ($§ 1$, Bài tập 16) và cho $\mathscr{J}$ là tập hợp các đẳng cấu được phép từ $A_0$ đến các phần tử khác nhau của $\mathscr{U}$. Nếu $\alpha$ là một nửa của $A_0$, với tường L ($§ 1$, Bài tập 16) và nếu $\varphi \in \mathscr{J}$, ta nói rằng $\varphi(\alpha)$ là một nửa căn hộ của I, với tường $\varphi(L)$. Chứng minh rằng $\varphi(L)$ khi đó chỉ phụ thuộc vào $\varphi(\alpha)$ chứ không phụ thuộc vào cặp $(\varphi, \alpha)$. Cho $D_1$ và $D_2$ là hai nửa căn hộ phân biệt, có cùng tường L: chứng minh rằng tồn tại $\varphi \in \mathscr{J}$ và một tường $L_0$ của $A_0$ sao cho $L = \varphi(L_0)$ và các $D_i$ là ảnh qua $\varphi$ của hai nửa của $A_0$ được xác định bởi $L_0$ (chọn một panel F chứa trong L và hai phòng C_1 và C_2, một phòng chứa trong $D_1$ và phòng kia chứa trong $D_2$ sao cho $C_1$ chứa F và $C_2$ chứa panel đối diện với F trong $D_1$ (panel này cũng đối diện với F trong $D_2$) và xét căn hộ của I chứa $C_1$ và $C_2$).