Exercice 17, § 2

Gardons les hypothèses et notations des exerc. 15 et 16. On choisit un élément $\varphi \in \mathfrak{J}$ transformant la chambre canonique $C$ de $A_0$ ($§ 1$, exerc. 16) en la chambre canonique $C_e$ de $I$ et on désigne, comme dans l’exerc. 15 d), par $N$ le stabilisateur de l’appartement $\varphi(A_0) \in \mathscr{U}$ dans le groupe $G$. Pour toute partie $D$ de $A_0$, on désigne par $B_D$ le sous-groupe de $G$ laissant fixes tous les points de $\varphi(D)$ : on a $B = B_C$ et $B \cap N = B_{A_0}$.

a) Soit $\alpha$ une moitié de $A_0$, contenant $C$. Montrer que $B_\alpha$ est transitif sur les demi-appartements de $I$ ayant pour mur le mur $L$ de $\varphi(\alpha)$ et distincts de $\varphi(\alpha)$ (soient $X$ un tel demi-appartement, $F$ une cloison contenue dans $L$ et $C'$ une chambre de $\varphi(\alpha)$ contenant $F$; montrer qu’il existe $g \in G$ tel que $g(X \cup \varphi(\alpha)) = \varphi(A_0)$ et $g(C') = C'$, en utilisant l’exerc. 16 c) et l’exerc. 13 a); montrer que $g(F) = F$ et déduire de l’exerc. 22 c) du $§ 1$ que $g \in B_\alpha$). En déduire que $B_L$ est doublement transitif sur les demi-appartements de mur $L$ et que $(B_L, B_\alpha, B_L \cap N)$ est un système de Tits de groupe de Weyl d’ordre 2 (cf. exerc. 7).

b) Soient $D_1$ et $D_2$ deux parties convexes de $A_0$, telles que $C \subset D_1 \subset D_2$ et qu’il existe une moitié $\alpha$ et une seule de $A_0$ avec $D_1 \subset \alpha$ et $D_2 \notin \alpha$ : on a alors $D_1 = D_2 \cap \alpha$ ($§ 1$, exerc. 21 c)). Montrer que $B_{D_1} = B_\alpha B_{D_2}$ et que $B_\alpha \cap B_{D_2} = B \cap N$ (en considérant une galerie de plus petite longueur possible ayant une extrémité égale à $C$, et l’autre contenant un point $a \in D_2 - D_1$, on montrera qu’il existe deux chambres mitoyennes $C'_1$ et $C'_2$ de $A_0$, telles que $C'_1 \subset D_1$, $C'_2 \subset D_2$, $C'_2 \notin D_1$ et $C'_1 \cap C'_2$ contenue dans le mur $L'$ de $\alpha$. Posons $C_i = \varphi(C'_i)$, $F = \varphi(C'_1 \cap C'_2)$ et $L = \varphi(L')$. Montrer que l’enveloppe convexe de $D_1 \cup C'_2$ est égale à $D_2$. Soit $b \in B_{D_1}$ : on a $b(C_1) = C_1$, d’où $b(F) = F$ et $b(C_2) \neq C_1$. En déduire que l’enveloppe convexe de $b(C_2) \cup L$ est un demi-appartement $X$ de mur $L$, distinct de $\varphi(\alpha)$ et qu’il existe $b' \in B_\alpha$ tel que

Montrer que $b'b(a) = a$ pour tout $a \in \varphi(D_1 \cup C'_2)$ et que $b'b \in B_{D_2}$.

c) Soit $(\alpha_i)_{1 \leq i \leq q}$ les moitiés de $A_0$ contenant $C$, numérotées de façon que l’application

soit strictement décroissante (cf. $§ 1$, exerc. 17). Montrer que $B = B_{\alpha_1} \ldots B_{\alpha_q}$ et que si $b_i, b'_i \in B_{\alpha_i}$ avec $b_1 \ldots b_q = b'_1 \ldots b'_q$, alors $b'_i \in b_i(B \cap N)$ pour $1 \leq i \leq q$.