Bài tập 17, § 2

Ta giữ lại các giả thiết và ký hiệu của Bài tập 15 và 16. Chọn một phần tử $\varphi \in \mathscr{J}$ đưa phòng chính tắc $C$ của $A_0$ ($§ 1$, Bài tập 16) vào phòng chính tắc $C_e$ của $I$ và, như trong Bài tập 15 $d$), ký hiệu $N$ là nhóm ổn định của căn hộ $\varphi(A_0) \in \mathscr{U}$ trong nhóm $G$. Với mọi tập con $D$ của $A_0$, ký hiệu $B_D$ là nhóm con của $G$ giữ cố định mọi điểm của $\varphi(D)$: ta có $B = B_C$ và $B \cap N = B_{A_0}$.

a) Cho $\alpha$ là một nửa của $A_0$ chứa $C$. Chứng minh rằng $B_\alpha$ tác động bắc cầu trên các nửa căn hộ của $I$ phân biệt với $\varphi(\alpha)$ có biên là biên $L$ của $\varphi(\alpha)$ (gọi $X$ là một nửa căn hộ như vậy, $F$ là một bảng chứa trong $L$ và $C'$ là một phòng của $\varphi(\alpha)$ chứa $F$; chứng minh, bằng cách sử dụng Bài tập 16 $c$) và Bài tập 13 $a$), rằng tồn tại $g \in G$ sao cho $g(X \cup \varphi(\alpha)) = \varphi(A_0)$ và $g(C') = C'$; chứng minh rằng $g(F) = F$ và suy ra từ Bài tập 22 $c$ của $§ 1$ rằng $g \in B_\alpha$). Suy ra rằng $B_L$ tác động bội bắc cầu trên các nửa căn hộ có biên $L$ và rằng $(B_L, B_\alpha, B_L \cap N)$ là một hệ Tits có nhóm Weyl có cấp 2 (xem Bài tập 7).

b) Cho $D_1$ và $D_2$ là hai tập lồi của $A_0$ sao cho $C \subset D_1 \subset D_2$ và tồn tại duy nhất một nửa $\alpha$ của $A_0$ với $D_1 \subset \alpha$ và $D_2 \not\subset \alpha$: khi đó $D_1 = D_2 \cap \alpha$ ($§ 1$, Exerc. 21 $c$). Chứng minh rằng $B_{D_1} = B_\alpha B_{D_2}$ và rằng $B_\alpha \cap B_{D_2} = B \cap N$ (bằng cách xét một gallery có độ dài nhỏ nhất có một đầu mút bằng $C$ và đầu mút kia chứa một điểm $a \in D_2 - D_1$); chứng minh rằng tồn tại hai buồng kề nhau $C'_1$ và $C'_2$ của $A_0$ sao cho $C'_1 \subset D_1, C'_2 \subset D_2, C'_2 \not\subset D_1$ và $C'_1 \cap C'_2$ được chứa trong tường $L'$ của $\alpha$. Đặt $C_i = \varphi(C'_i), F = \varphi(C'_1 \cap C'_2)$ và $L = \varphi(L')$. Chứng minh rằng bao lồi của $D_1 \cup C'_2$ bằng $D_2$. Cho $b \in B_{D_1}$: khi đó $b(C_1) = C_1$, do đó $b(F) = F$ và $b(C_2) \neq C_1$. Suy ra rằng bao lồi của $b(C_2) \cup L$ là một nửa căn hộ $X$ phân biệt với $\varphi(\alpha)$ và có tường $L$, và tồn tại $b' \in B_\alpha$ sao cho

Chứng minh rằng $b'b(a) = a$ với mọi $a \in \varphi(D_1 \cup C'_2)$ và rằng $b'b \in B_{D_2}$.

c) Cho $(\alpha_i)_{1 \leq i \leq q}$ là các nửa của $A_0$ chứa $C$, được đánh số sao cho ánh xạ

là giảm nghiêm ngặt (xem $§ 1$, Exerc. 17). Chứng minh rằng $B = B_{\alpha_1} \ldots B_{\alpha_q}$ và rằng nếu $b_i, b'_i \in B_{\alpha_i}$ với $b_1 \ldots b_q = b'_1 \ldots b'_q$, thì $b'_i \in b_i(B \cap N)$ với $1 \leq i \leq q$.