Exercice 18, § 2

Reprenons les hypothèses et notations du n° 2. Soit $V_i$ le sous-espace vectoriel de $k^n$ engendré par $e_1, \ldots, e_i$ (pour $1 \leq i \leq n-1$).

a) Montrer que, pour toute partie $X$ de $S$, le sous-groupe $G_X$ (n° 5) se compose des éléments $g \in G$ tels que $g(V_i) = V_i$ pour tout $i$ tel que $s_i \notin X$.

EXERCICES

b) Soit I l’immeuble associé au système de Tits (G, B, N, S) (exerc. 10 et 12). Montrer que l’application j qui au point gG^{(i)} de I (où G^{(i)} désigne le sous-groupe G_{s-\{s_i\}} de G, c’est-à-dire le stabilisateur de V_i) fait correspondre le sous-espace vectoriel g(V_i), est une bijection de I sur l’ensemble $\mathscr{B}$ des sous-espaces vectoriels de $k^n \neq \{0\}$ et $\neq k^n$, compatible avec l’action de G.

c) Si E est un espace vectoriel, on appelle drapeau de E un ensemble totalement ordonné pour l’inclusion de sous-espaces vectoriels de E. Montrer que des éléments $a_1, \ldots, a_k$ de I appartiennent à une même facette de I si et seulement si $\{j(a_1), \ldots, j(a_k)\}$ est un drapeau de $k^n$.

d) Montrer que G est doublement transitif sur l’ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension 1 de $k^n$. Supposons $n \geq 2$ et soit N_1 le sous-groupe de G engendré par l’élément qui échange $e_1$ et $e_2$ et laisse fixes les autres $e_i$ : montrer que (G, G^{(1)}, N_1) est un système de Tits dont le groupe de Weyl est d’ordre 2.

e) On suppose k commutatif. On pose

Montrer que $N'/T'$ s’identifie à $\mathfrak{S}_n$ et que (G', B', N', S) est un système de Tits (raisonner comme au no 2).