Bài tập 18, § 2

Ta dùng các giả thiết và ký hiệu của no. 2. Gọi $V_i$ là không gian con vectơ của $k^n$ sinh bởi $e_1, \ldots, e_i$ (với $1 \leq i \leq n-1$).

a) Chứng minh rằng, với mọi tập con X của S, nhóm con G_X (no. 5) gồm các phần tử $g \in G$ sao cho $g(V_i) = V_i$ với mọi $i$ sao cho $s_i \notin X$.

b) Gọi I là công trình liên kết với một hệ Tits $(G, B, N, S)$ (Bài tập 10 và 12). Chứng minh rằng ánh xạ $j$ gán cho điểm $gG^{(i)}$ của I (trong đó $G^{(i)}$ chỉ nhóm con $G_{S-\{s_i\}}$ của G, nói cách khác là nhóm ổn định của $V_i$) không gian con vectơ $g(V_i)$ là một song ánh từ I lên tập $\mathscr{B}$ các không gian con vectơ của $k^n$ mà $\neq \{0\}$ và $\neq k^n$, tương thích với tác động của G.

c) Nếu E là một không gian vectơ, một cờ của E là một tập hợp các không gian con vectơ của E được sắp thứ tự toàn phần bởi quan hệ bao hàm. Chứng minh rằng các phần tử $a_1, \ldots, a_k$ của I thuộc cùng một mặt của I khi và chỉ khi $\{j(a_1), \ldots, j(a_k)\}$ là một cờ của $k^n$.

d) Chứng minh rằng G tác động bắc cầu đôi trên tập các không gian con vectơ 1 chiều của $k^n$. Giả sử rằng $n \geq 2$ và gọi $N_1$ là nhóm con của G sinh bởi phần tử hoán đổi $e_1$ và $e_2$ và giữ cố định các $e_i$ khác. Chứng minh rằng $(G, G^{(1)}, N_1)$ là một hệ Tits mà nhóm Weyl có cấp 2.

e) Giả sử rằng $k$ là giao hoán. Đặt

Chứng minh rằng $N'/T'$ có thể được đồng nhất với $\mathfrak{S}_n$ và rằng $(G', B', N', S)$ là một hệ Tits (lập luận như ở no. 2).