Exercice 21, § 2

Soient $A$ un anneau de valuation discrète ($Alg.\ comm.$, chap. VI, § 3, n° 6), $m$ son idéal maximal, $\gamma$ un générateur de $m$ et $K$ le corps des fractions de $A$. Soient $G$ le groupe $\mathbf{SL}(2, K)$, $B$ le sous-groupe de $G$ formé des matrices $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ telles que $a, b, d \in A$ et $c \in m$ (avec $ad - bc = 1$) et $N$ le sous-groupe formé des matrices appartenant à $G$ et n’ayant qu’un seul élément non nul dans chaque ligne et dans chaque colonne.

a) Montrer que $T = B \cap N$ est distingué dans $N$ et que $W = N/T$ est un groupe diédral infini engendré par les classes $s$ et $s'$ des matrices $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 0 & \gamma \\ -\gamma^{-1} & 0 \end{pmatrix}$ respectivement.

b) Montrer que $(G, B, N, S)$ (avec $S = \{ s, s' \}$) est un système de Tits.

c) Soit $H = \mathbf{SL}(2, A)$ le sous-groupe de $G$ formé des matrices à coefficients dans $A$. Montrer que $(H, N, B \cap H, \{ s \})$ est un système de Tits. Comparer avec l’exerc. 18 e).

d) Soit $\hat{A}$ le complété de $A$ et soient $\hat{G}, \hat{B}, \hat{N}, \hat{T}$ les groupes définis comme ci-dessus, mais en remplaçant $A$ par $\hat{A}$. Montrer que l’injection de $G$ dans $\hat{G}$ définit un isomorphisme $j$ de l’immeuble $I$ associé à $(G, B)$ (exerc. 10) sur l’immeuble $\hat{I}$ associé à $(\hat{G}, \hat{B})$. Soit $(I, \mathfrak{M})$ (resp. $(\hat{I}, \hat{\mathfrak{M}})$) l’immeuble structuré associé à $(G, B, N)$ (resp. $(\hat{G}, \hat{B}, \hat{N})$) (exerc. 12) : montrer que $j(\mathfrak{M}) \subset \hat{\mathfrak{M}}$, mais que $j(\mathfrak{M}) \neq \hat{\mathfrak{M}}$ si $\hat{A} \neq A$ (remarquer que les appartements $\hat{\mathfrak{M}}$ (resp. $\mathfrak{M}$) correspondent bijectivement aux conjugués de $T$ (resp. $\hat{T}$) par $G$ (resp. $\hat{G}$).