Bài tập 21, § 2

Cho A là một vành định giá rời rạc (Đại số giao hoán, Chương VI, § 3, no. 6), m là iđêan cực đại của nó, $\gamma$ là một phần tử sinh của m và K là trường phân thức của A. Gọi G là nhóm $\mathbf{SL}(2, K)$, B là nhóm con của G gồm các ma trận $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ sao cho $a, b, d \in A$ và $c \in m$ (với $ad - bc = 1$) và N là nhóm con gồm các ma trận thuộc G và chỉ có một phần tử khác không trong mỗi hàng và mỗi cột.

a) Chứng minh rằng $T = B \cap N$ là chuẩn tắc trong $N$ và $W = N/T$ là một nhóm hai mặt vô hạn sinh bởi các lớp $s$ và $s'$ của các ma trận $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ và $\begin{pmatrix} 0 & \gamma \\ -\gamma^{-1} & 0 \end{pmatrix}$, tương ứng.

b) Chứng minh rằng $(G, B, N, S)$ (với $S = \{s, s'\}$) là một hệ Tits.

c) Gọi $H = \mathbf{SL}(2, A)$ là nhóm con của $G$ gồm các ma trận có các hệ số trong $A$. Chứng minh rằng $(H, B \cap H, N, \{s\})$ là một hệ Tits. So sánh với Bài tập 18 e).

d) Gọi $\hat{A}$ là bổ sung của $A$ và gọi $\hat{G}, \hat{B}, \hat{N}, \hat{T}$ là các nhóm được định nghĩa như trên nhưng thay thế $A$ bởi $\hat{A}$. Chứng minh rằng đơn ánh từ $G$ vào $\hat{G}$ xác định một đẳng cấu từ tòa nhà $I$ liên kết với $(G, B)$ (Bài tập 10) lên tòa nhà $\hat{I}$ liên kết với $(\hat{G}, \hat{B})$. Gọi $(I, \mathscr{U})$ (resp. $(\hat{I}, \hat{\mathscr{U}})$) là tòa nhà có cấu trúc liên kết với $(G, B, N)$ (resp. $(\hat{G}, \hat{B}, \hat{N})$) (Bài tập 12): chứng minh rằng $j(\mathscr{U}) \subset \hat{\mathscr{U}}$, nhưng $j(\mathscr{U}) \neq \hat{\mathscr{U}}$ nếu $A \neq \hat{A}$ (nhận xét rằng các căn hộ $\hat{\mathscr{U}}$ (resp. $\mathscr{U}$) tương ứng song ánh với các liên hợp của $T$ (resp. $\hat{T}$) bởi $G$ (resp. $\hat{G}$).