Exercice 24, § 2

Soient $G$ un groupe, $B$ un sous-groupe de Tits de $G$ (exerc. 3, dont nous reprenons les notations). On suppose que pour tout $s \in S$, la double classe $C(s)$ est réunion d’un nombre fini $q_s$ de classes à gauche suivant $B$. On reprend les notations de l’exerc. 22 et on pose $a_w = a_{C(w)}$ pour tout $w \in W$.

a) Montrer que les conditions (i) et (ii) de l’exerc. 22 sont satisfaites. On peut donc parler de l’algèbre de Hecke $H_k(G, B)$ ($k$ étant un anneau commutatif), dont $(a_w)_{w \in W}$ forme une base.

b) Soient $s \in S$, et $w \in W$. Montrer que $a_s * a_s = (q_s - 1)a_s + q_s$; montrer que si $l(sw) > l(w)$, on a $a_s * a_w = a_{sw}$.

c) Montrer que l’application linéaire de l’algèbre $E_k((q_s - 1), (q_s))$ associée au système de Coxeter $(W, S)$ (exerc. 23) dans $H_k(G, B)$ qui transforme $e_w$ en $a_w$ pour tout $w \in W$, est un isomorphisme d’algèbres.