Bài tập 24, § 2

Cho G là một nhóm và B là một nhóm con Tits của G (Bài tập 3, mà ta dùng ký hiệu). Giả sử rằng, với mọi s ∈ S, lớp kép C(s) là hợp của một số hữu hạn q_s lớp trái theo B. Ta dùng ký hiệu của Bài tập 22 và đặt a_w = a_{C(w)} với mọi w ∈ W.

a) Hãy chỉ ra rằng các điều kiện (i) và (ii) của Bài tập 22 được thỏa mãn. Do đó ta có thể nói đến đại số Hecke H_k(G, B) (k là một vành giao hoán), mà (a_w)_{w ∈ W} là một cơ sở.

b) Cho s ∈ S và w ∈ W. Hãy chỉ ra rằng a_s \* a_s = (q_s - 1)a_s + q_s; hãy chỉ ra rằng nếu l(sw) > l(w) thì a_s \* a_w = a_{sw}.

c) Hãy chỉ ra rằng ánh xạ tuyến tính từ đại số E_k((q_s - 1), (q_s)) liên kết với hệ Coxeter (W, S) (Bài tập 23) tới H_k(G, B), ánh xạ gửi e_w tới a_w với mọi w ∈ W, là một đẳng cấu đại số.