Exercice 25, § 2

Reprenons les notations de l’exerc. 8. On suppose de plus que, pour tout $s \in S$, l’indice $q_s$ de $B \cap gB g^{-1}$ dans $B$ est fini pour tout $g \in B_s B$.

a) Montrer que le couple $(\tilde{G}, B)$ satisfait aux conditions (i) et (ii) de l’exerc. 22.

b) Montrer que, pour tout $\gamma \in \Gamma$, l’application $x \mapsto \gamma x \gamma^{-1}$ définit un automorphisme $\sigma$ de l’algèbre de Hecke $H_k(G, B)$ et que $\sigma$ ne dépend que de la classe $\omega$ de $\gamma$ dans $\Omega = \Gamma / (\Gamma \cap B)$. On le note $\sigma_\omega$.

c) Soient $k[\Omega]$ l’algèbre du groupe $\Omega$, $(e_\omega)$ sa base canonique. Montrer que l’application linéaire $j$ de $k[\Omega] \otimes_k H_k(G, B)$ dans $H_k(\bar{G}, B)$ définie par $j(e_\omega \otimes a_{BwB}) = a_{B\omega wB}$ (avec les notations de l’exerc. 22) pour $\omega \in \Omega$ et $w \in \Omega$, est bijective et que l’on a :

pour $\omega, \omega' \in \Omega$ et $x, y \in H_k(G, B)$.