Bài tập 25, § 2

Ta dùng ký hiệu của Bài tập 8. Giả sử thêm rằng, với mọi s ∈ S, chỉ số q_s của B ∩ gBg^{-1} trong B là hữu hạn với mọi g ∈ BsB.

a) Chứng minh rằng cặp (\tilde{G}, B) thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii) của Bài tập 22.

b) Chứng minh rằng, với mọi γ ∈ Γ, ánh xạ x ↦ γxγ^{-1} xác định một tự đẳng cấu σ của đại số Hecke H_k(G, B) và rằng σ chỉ phụ thuộc vào lớp ω của γ trong Ω = Γ/(Γ ∩ B).

c) Cho k[Ω] là đại số nhóm của Ω và (e_ω) là cơ sở chính tắc của nó. Chứng minh rằng ánh xạ tuyến tính j từ k[Ω] ⊗_k H_k(G, B) tới H_k(\tilde{G}, B) được xác định bởi j(e_ω ⊗ a_{BwB}) = a_{BωwB} (theo ký hiệu của Bài tập 22), với ω ∈ Ω và w ∈ W, là song ánh và rằng

với ω, ω' ∈ Ω và x, y ∈ H_k(G, B).