Exercice 26, § 2

Si E est une algèbre absolument semi-simple de rang fini sur un corps commutatif $k$, on appelle invariant numérique de E la suite d’entiers $(n_1, \ldots, n_r)$ telle que $n_1 \geq \cdots \geq n_r > 0$ et que $\overline{k} \otimes_k E$ soit isomorphe, pour toute clôture algébrique $\overline{k}$ de $k$, à $\prod_i M_{n_i}(\overline{k})$.

Soient V un anneau intègre, K son corps des fractions, $\varphi$ un homomorphisme de V dans un corps commutatif $k$, E une V-algèbre. On suppose que E est un V-module libre de rang fini et on pose $E_0 = E \otimes_V k$ et $E_1 = E \otimes_V K$.

a) On suppose que la forme bilinéaire $(x, y) \mapsto \operatorname{Tr}_{E_0/k}(xy)$ sur $E_0$ est non dégénérée. Montrer que $E_0$ et $E_1$ sont absolument semi-simples (cf. Alg., chap. IX, § 2, exerc. 1).

b) On suppose que $E_0$ et $E_1$ sont absolument semi-simples sur $k$ et $K$ respectivement. Montrer que $E_0$ et $E_1$ ont même invariant numérique (on se ramènera au cas où $k$ et $K$ sont algébriquement clos; soient $(e_i)$ une base de E sur V et $(X_i)$ des indéterminées. On montrera que le polynôme caractéristique de l’élément $\sum X_{i e_i}$ de $E_1 \otimes_K K[(X_i)]$ (resp. $E_0 \otimes_k k[(X_i)]$) est de la forme $P = \prod_j P_j^{n_j}$ (resp. $Q = \prod_k Q_k^{m_k}$), où $(n_1, \ldots, n_r)$ (resp. $(m_1, \ldots, m_s)$) est l’invariant numérique de $E_1$ (resp. $E_0$), avec $\deg P_j = n_j$ (resp. $\deg Q_k = m_k$). On montrera que $P_j \in V[(X_i)]$ et que $Q = \varphi(P)$. On en déduira qu’il existe des entiers $c_{jk} \geq 0$ tels que