Bài tập 26, § 2

Nếu E là một đại số nửa đơn tuyệt đối hạng hữu hạn trên một trường giao hoán k, thì bất biến số của E là dãy số nguyên (n_1, ..., n_r) sao cho n_1 ≥ ... ≥ n_r > 0 và \bar{k} ⊗_k E đẳng cấu, với mọi bao đóng đại số \bar{k} của k, với $\prod_i M_{n_i}(\bar{k})$.

Cho V là một vành nguyên, K là trường phân thức của nó, φ là một đồng cấu từ V vào một trường giao hoán k, và E là một V-đại số. Giả sử E là một V-môđun tự do hạng hữu hạn và đặt E_0 = E ⊗_V k và E_1 = E ⊗_V K.

a) Giả sử dạng song tuyến tính (x, y) ↦ Tr_{E_0/k}(xy) trên E_0 là không suy biến. Chứng minh rằng E_0 và E_1 là nửa đơn tuyệt đối (xem Đại số, Chương IX, § 2, Bài tập 1).

b) Giả sử E_0 và E_1 lần lượt là nửa đơn tuyệt đối trên k và K. Chứng minh rằng E_0 và E_1 có cùng bất biến số (rút gọn về trường hợp k và K đóng đại số); cho (e_i) là một cơ sở của E trên V và

cho $(X_i)$ là các bất định. Chứng minh rằng đa thức đặc trưng của phần tử $\sum_i X_i e_i$ của $E_1 \otimes_K K[(X_i)]$ (tương ứng $E_0 \otimes_k k[(X_i)]$) có dạng $P = \prod_j P_j^{n_j}$ (tương ứng $Q = \prod_k Q_k^{m_k}$), trong đó $(n_1, \ldots, n_r)$ (tương ứng $(m_1, \ldots, m_s)$) là bất biến số của $E_1$ (tương ứng $E_0$), với $\deg(P_j) = n_j$ (tương ứng $\deg(Q_k) = m_k$). Chứng minh rằng $P_j \in V[(X_i)]$ và $Q = \varphi(P)$. Suy ra rằng tồn tại các số nguyên $c_{jk} \geq 0$ sao cho