Exercice 27, § 2

Soit $(G, B, N, S)$ un système de Tits et soit $k$ un corps commutatif. On suppose que G est fini et que la caractéristique de $k$ ne divise ni l’ordre de G ni l’ordre du groupe de Weyl $W = N/(B \cap N)$. Montrer que les algèbres $H_k(G, B)$ (exerc. 22) et $k[W]$ sont absolument semi-simples et ont même invariant numérique, donc sont isomorphes lorsque $k$ est algébriquement clos (soit $q_s$ l’indice de $B \cap gBg^{-1}$ dans $B$ pour $g \in BsB, s \in S$). Considérer l’algèbre $E_{k[X]}((X(q_s - 1)), (1 + X(q_s - 1)))$ construite comme dans l’exerc. 23 à partir du système de Coxeter $(W, S)$ et de l’anneau des polynômes $k[X]$ et utiliser l’exerc. 26 a) et b) en remarquant que, d’après le théorème de Maschke (chap. V, Annexe), la forme bilinéaire $\operatorname{Tr}_{k[W]/k}(xy)$ est non dégénérée).