Bài tập 27, § 2

Cho $(G, B, N, S)$ là một hệ Tits và cho $k$ là một trường giao hoán. Giả sử rằng $G$ là hữu hạn và đặc số của $k$ không chia cả cấp của $G$ lẫn cấp của nhóm Weyl $W = N/(B \cap N)$. Hãy chỉ ra rằng các đại số $H_k(G, B)$ (Bài tập 22) và $k[W]$ là nửa đơn tuyệt đối và có cùng một bất biến số, và do đó là đẳng cấu khi $k$ đóng đại số (gọi $q_s$ là chỉ số của $B \cap gBg^{-1}$ trong $B$ với $g \in BsB, s \in S$. Xét đại số $E_{k[X]}((X(q_s - 1)), (1 + X(q_s - 1)))$ được xây dựng như trong Bài tập 23 từ hệ Coxeter $(W, S)$ và vành đa thức $k[X]$ và dùng Bài tập 26 a) và b), lưu ý rằng, theo định lý Maschke (Chương V, Phụ lục), dạng song tuyến tính $\operatorname{Tr}_{k[W]/k}(xy)$ là không suy biến).