Exercice 5, § 2

Soit $\Sigma = (G, B, N, S)$ un système de Tits. Posons $T = B \cap N$ et soit $\hat{N}$ le normalisateur de $N$.

$a$ ) Soit $b \in B \cap \hat{N}$. Montrer que $bnb^{-1}n^{-1} \in B \cap N$ pour tout $n \in N$ (poser $bn = n'b$ et utiliser le th. 1) et que $b$ appartient à l’intersection $\tilde{T}$ des conjugués $nBn^{-1}$ pour $n \in N$. Montrer que $\tilde{T} \cap N = T$.

On dit que $\Sigma$ est saturé si l’on a $\tilde{T} = T$.

$b$ ) Posons $\tilde{N} = N . \tilde{T}$. Montrer que $\tilde{N}$ est un sous-groupe de $G$, contenant $\tilde{T}$ comme sous-groupe distingué, et que $\tilde{N} \cap B = \tilde{T}$. Montrer que l’injection de $N$ dans $\tilde{N}$ définit un isomorphisme $j$ du groupe de Weyl $W$ de $\Sigma$ sur $\tilde{N}/\tilde{T}$.

$c$ ) Montrer que $(G, B, \tilde{N}, j(S))$ est un système de Tits saturé, dit associé à $\Sigma$.