Bài tập 5, § 2

Cho Σ = (G, B, N, S) là một hệ Tits. Đặt T = B ∩ N và gọi Ċ là bộ chuẩn hoá của N.

a) Cho b ∈ B ∩ Ċ. Chứng minh rằng bnb^{-1}n^{-1} ∈ B ∩ N với mọi n ∈ N (đặt bn = n'b và dùng Định lý 1) và rằng b thuộc giao Ğ của các liên hợp nBn^{-1} với n ∈ N. Chứng minh rằng Ğ ∩ N = T.

Nếu Ğ = T, ta nói Σ là bão hòa.

b) Đặt Ċ̃ = N.Ġ̃. Chứng minh rằng Ċ̃ là một nhóm con của G chứa Ġ̃ như một nhóm con chuẩn tắc và rằng Ċ̃ ∩ B = Ġ̃. Chứng minh rằng đơn ánh của N vào Ċ̃ xác định một đẳng cấu từ nhóm Weyl W của Σ lên Ċ̃/Ġ̃.

c) Chứng minh rằng (G, B, Ċ̃, j(S)) là một hệ Tits bão hòa, được gọi là liên kết với Σ.