Exercice 7, § 2

Soit $G$ un groupe opérant sur un ensemble $E$. On dit que $G$ est doublement transitif sur $E$ si, quels que soient les points $x, y, x', y' \in E$ avec $x \neq y$ et $x' \neq y'$, il existe un élément $g \in G$ tel que $g.x = x'$ et $g.y = y'$.

a) Soit $(G, B, N, S)$ un système de Tits dont le groupe de Weyl est d’ordre 2. Montrer que $G$ est doublement transitif sur $G/B$.

b) Soit $G$ un groupe doublement transitif sur un ensemble $E$. On suppose Card $E \geq 3$. Soient $e \in E$ et $B$ le stabilisateur de $e$. Soit $x \in E$, avec $x \neq e$, et soit $n \in G$ tel que $n(e) = x$ et $n(x) = e$. Soit $N$ le sous-groupe de $G$ engendré par $n$. Soit $s$ l’image canonique de $n$ dans $N/T$. Montrer que $(G, B, N, \{s\})$ est un système de Tits dont le groupe de Weyl est d’ordre 2.