Bài tập 7, § 2

Cho G là một nhóm tác động trên một tập hợp E. Khi đó nói rằng G tác động 2-bắc cầu trên E nếu, với mọi $x, y, x', y' \in E$ sao cho $x \neq y$ và $x' \neq y'$, tồn tại một phần tử $g \in G$ sao cho $g.x = x'$ và $g.y = y'$.

a) Cho $(G, B, N, S)$ là một hệ Tits mà nhóm Weyl W có cấp 2. Hãy chỉ ra rằng G tác động 2-bắc cầu trên $G/B$.

b) Cho G là một nhóm tác động 2-bắc cầu trên một tập hợp E. Giả sử rằng Card(E) $\geqslant 3$. Cho $e \in E$ và gọi B là nhóm ổn định của e. Cho $x \in E$, với $x \neq e$, và cho $n \in G$ sao cho $n(e) = x$ và $n(x) = e$. Gọi N là nhóm con của G sinh bởi n. Gọi s là ảnh chính tắc của n trong N/T. Hãy chỉ ra rằng $(G, B, N, \{s\})$ là một hệ Tits mà nhóm Weyl có cấp 2.