Exercice 2, § 1

Soit H l’ensemble des nombres complexes $\tau$ tels que $\mathscr{J}(\tau) > 0$. a) Montrer qu’on définit une loi d’opération à gauche analytique du groupe discret $\mathrm{SL}(2, \mathbf{Z})$ dans H en posant $\gamma \tau = \frac{a \tau + b}{c \tau + d}$ pour tout $\tau \in H$ et $\gamma = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathrm{SL}(2, \mathbf{Z})$. b) Pour $\tau \in H$, on désigne par $T_\tau$ le tore complexe $\mathbf{C}/(\mathbf{Z} + \mathbf{Z} \tau)$. Montrer que l’application $\tau \mapsto T_\tau$ induit par passage au quotient une application bijective de l’ensemble $H/\mathrm{SL}(2, \mathbf{Z})$ sur l’ensemble des classes d’isomorphisme de tores complexes de dimension un.