Exercice 5, § 1

Soit A le sous-groupe fermé de $\mathrm{GL}(3, \mathbf{R})$ formé des matrices $(a_{ij})$ telles que $a_{ij} = 0$ pour $i > j$, $a_{ii} = 1$ pour $1 \leq i \leq 3$, $a_{12} \in \mathbf{Z},\ a_{23} \in \mathbf{Z}$; soit B le sous-groupe de A formé des matrices $(a_{ij})$ telles que $a_{12} = a_{23} = 0$ et $a_{13} \in \mathbf{Z}$, et soit $G = A/B$. a) Montrer que G est un groupe de Lie de dimension un, d’algèbre de Lie compacte. b) Montrer qu’on a $C(G) = D(G) = G_0$, et que $G_0$ est le plus grand sous-groupe compact de G. c) Montrer que G n’est pas produit semi-direct de $G_0$ par un sous-groupe.