Bài tập 5, § 1

Cho A là nhóm con đóng của $\mathbf{G}\mathbf{L}(3,\mathbf{R})$ gồm các ma trận $(a_{ij})$ sao cho $a_{ij}= 0$ với $i > j,a_{ii}= 1$ với $1\leq i\leq 3,a_{12}\in \mathbf{Z},a_{23}\in \mathbf{Z}$; lấy $\theta \in$ R -- Q và gọi B là nhóm con của A gồm các ma trận $(a_{ij})$ sao cho $a_{12}=a_{23}= 0$ và $a_{13}\in \theta \mathbf{Z}$, và đặt $G = A/B$.

a) Chứng minh rằng G là một nhóm Lie có chiều một, mà đại số Lie là compact. b) Chứng minh rằng $C(G) =\overline{D(G)}= G_0$, và $G_0$ là nhóm con compact lớn nhất của G.

c) Chứng minh rằng G không phải là tích nửa trực tiếp của $G_0$ với bất kỳ nhóm con nào.