Exercice 7, § 1

On appelle algèbre de Lie involutive une algèbre de Lie (réelle) g munie d’un automorphisme s tel que s o s = 1_g. On note g^+ (resp. g^-) le sous-espace propre de g relatif à la valeur propre + 1 (resp. − 1) de s. a) Montrer que g^+ est une sous-algèbre de g et que g^- est un g^+-module ; on a [g^-, g^-] ⊂ g^+, et g^+ et g^- sont orthogonaux pour la forme de Killing. b) Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) Le g^+-module g^- est simple ; (ii) L’algèbre g^+ est maximale parmi les sous-algèbres de g distinctes de g. Si ces conditions sont réalisées, et si g^+ ne contient aucun idéal non nul de g, on dit que l’algèbre de Lie involutive (g, s) est irréductible. c) On suppose g semi-simple. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) Les seuls idéaux de g stables par s sont {0} et g ; (ii) g est simple ou somme de deux idéaux simples échangés par s. Montrer que ces conditions sont satisfaites lorsque (g, s) est irréductible (observer que g est somme directe d’idéaux stables par s et vérifiant (ii)). d) On suppose désormais que g est semi-simple compacte. Montrer que l’algèbre de Lie involutive (g, s) est irréductible si et seulement si s est différent de l’identité et (g, s) vérifie les conditions équivalentes de c) (soient p un sous-g^+-module de g^- et q son orthogonal pour la forme de Killing ; observer que [p, q] = 0 et en déduire que p + [p, p] est un idéal de g). e) Démontrer que g est somme directe d’une famille (g_i)_{0 \leq i \leq n} d’idéaux stables par s, tels que g_0 soit fixé par s et que les algèbres involutives (g_i, s|g_i) soient irréductibles pour 1 \leq i \leq n.