Bài tập 7, § 1

Một đại số Lie đối hợp là một đại số Lie (thực) $\mathfrak{g}$ được trang bị một tự đẳng cấu $s$ sao cho $s\circ s= 1_{\mathfrak{g}}$. Ký hiệu $\mathfrak{g}^+$ (tương ứng $\mathfrak{g}^-$) là không gian riêng của $\mathfrak{g}$ ứng với trị riêng +1 (tương ứng $-1$) của $s$.

a) Chứng minh rằng $\mathfrak{g}^+$ là một đại số con của $\mathfrak{g}$ và rằng $\mathfrak{g}^-$ là một $\mathfrak{g}^+$-môđun; ta có $[\mathfrak{g}^-,\mathfrak{g}^-]\subset \mathfrak{g}^+$, và $\mathfrak{g}^+$ và $\mathfrak{g}^-$ trực giao đối với dạng Killing.

b) Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

(i) $\mathfrak{g}^+$-môđun $\mathfrak{g}^-$ là đơn.

(ii) Đại số $\mathfrak{g}^+$ là cực đại trong số các đại số con của $\mathfrak{g}$ phân biệt với $\mathfrak{g}$. Nếu các điều kiện này được thỏa mãn, và nếu $\mathfrak{g}^+$ không chứa iđêan khác không nào của $\mathfrak{g}$, đại số Lie đối hợp $(\mathfrak{g}, s)$ được gọi là bất khả quy.

c) Giả sử rằng $\mathfrak{g}$ là nửa đơn. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

(i) Các iđêan duy nhất của $\mathfrak{g}$ ổn định đối với $s$ là $\{0\}$ và $\mathfrak{g}$;

(ii) $\mathfrak{g}$ hoặc là đơn hoặc là tổng của hai iđêan đơn được hoán đổi bởi $s$.

Chứng minh rằng các điều kiện này được thỏa mãn khi $(\mathfrak{g}, s)$ là bất khả quy (quan sát rằng $\mathfrak{g}$ là tổng trực tiếp của các iđêan ổn định đối với $s$ và thỏa mãn (ii)).

d) Từ nay giả sử rằng $\mathfrak{g}$ là nửa đơn compact. Chứng minh rằng đại số Lie đối hợp $(\mathfrak{g}, s)$ là bất khả quy khi và chỉ khi $s$ khác với đồng nhất và $(\mathfrak{g}, s)$ thỏa mãn các điều kiện tương đương trong c) (cho $\mathfrak{p}$ là một $\mathfrak{g}^+$-môđun con của $\mathfrak{g}^-$ và $\mathfrak{q}$ là phần bù trực giao của nó đối với dạng Killing; quan sát rằng $[\mathfrak{p},\mathfrak{q}] = 0$ và suy ra rằng $\mathfrak{p}+ [\mathfrak{p},\mathfrak{p}]$ là một iđêan của $\mathfrak{g}$).

e) Chứng minh rằng $\mathfrak{g}$ là tổng trực tiếp của một họ $(\mathfrak{g}_i)_{0\leq i\leq n}$ các iđêan ổn định đối với $s$, sao cho $\mathfrak{g}_0$ được cố định bởi $s$ và sao cho các đại số đối hợp $(\mathfrak{g}_i, s|\mathfrak{g}_i)$ là bất khả quy đối với $1\leq i\leq n$.