Exercice 14, § 9

On suppose que la variété X est paracompacte, et localement de dimension finie. Soient G un groupe de Lie opérant proprement sur X, H un sous-groupe compact de G, t la classe de conjugaison de H. a) Montrer que l’ensemble $\dot{X}_H$ des points de X dont le fixateur est égal à H est une sous-variété localement fermée de X. b) Montrer que l’application $(g, x) \mapsto gx$ de $G \times X_H$ dans X induit un isomorphisme (de classe $C^r$) de $G \times \mathbf{N}(H)^{X_H}$ sur $X_{(t)}$.