Exercice 3, § 2

Soit V un espace hilbertien complexe de base $e_1, \ldots, e_l$. Pour $1 \leq i \leq l$, soit $s_i$ une pseudo-réflexion unitaire, de vecteur $e_i$, telle que $s_i(e_i) = c_i e_i$, avec $c_i \neq 1$; un élément de V est invariant par $s_i$ si et seulement si il est orthogonal à $e_i$. Soit W le sous-groupe de $\mathbf{GL}(V)$ engendré par les $s_i$.

a) Soit $i$ un entier $\geq 1$. Montrer que tout élément de $\bigwedge^i V$ invariant par W est nul. (Raisonner par récurrence sur $l$; si $V'$ est le sous-espace de V engendré par $e_1, \ldots, e_{l-1}$, et si $e$ est un vecteur non nul orthogonal à $V'$, on écrira tout élément de $\bigwedge^i V$ sous la forme $a + (b \wedge e)$, avec $a \in \bigwedge^{i-1} V'$ et $b \in \bigwedge^{i-1} V'$; si $a + (b \wedge e)$ est invariant par W, $a$ et $b$ sont invariants par le groupe $W'$ engendré par $s_1, \ldots, s_{l-1}$, ce qui permet d’appliquer l’hypothèse de récurrence).

b) On suppose $W$ fini. Montrer, en utilisant a), que, pour tout endomorphisme $A$ de V, on a :

En déduire que, pour tout $A \in \mathrm{End}(V)$, il existe $w \in W$ tel que $Aw$ n’ait aucun point fixe non nul.

c) Soit $\Gamma$ le graphe dont l’ensemble des sommets est $\{1, l\}$, les arêtes étant les ensembles $\{i, j\}$ tels que $e_i$ et $e_j$ ne soient pas orthogonaux. Montrer que V est un W-module simple si et seulement si $\Gamma$ est connexe et non vide.

d) On suppose que V est un W-module simple. Montrer que les W-modules $\bigwedge^i V$ ($0 \leq i \leq l$) sont simples. (Montrer qu’il existe un entier $j$ tel que le graphe $\Gamma - \{j\}$ soit connexe. Raisonner par récurrence sur $l$, en appliquant l’hypothèse de récurrence au sous-espace $V'$ engendré par les $e_i, i \neq j$.) Montrer que ces modules sont deux à deux non isomorphes (*).

(*) Cet exercice, inédit, nous a été communiqué par R. Steinberg.