Bài tập 3, § 2

Cho V là một không gian Hilbert phức có cơ sở $e_1, \ldots, e_l$. Với $1 \leq i \leq l$, cho $s_i$ là một phản xạ giả unita, với vectơ $e_i$, sao cho $s_i(e_i) = c_i e_i$, với $c_i \neq 1$; một phần tử của V là bất biến dưới $s_i$ khi và chỉ khi nó vuông góc với $e_i$. Cho W là nhóm con của $\mathbf{GL}(V)$ sinh bởi các $s_i$.

a) Cho $i$ là một số nguyên $\geq 1$. Chứng minh rằng mọi phần tử của $\bigwedge^i V$ bất biến dưới W đều bằng không. (Lập luận bằng quy nạp theo $l$; nếu $V'$ là không gian con của V sinh bởi $e_1, \ldots, e_{l-1}$, và nếu $e$ là một vectơ khác không vuông góc với $V'$, thì mọi phần tử của $\bigwedge^i V$ có thể được viết dưới dạng $a + (b \wedge e)$, với $a \in \bigwedge^i V'$ và $b \in \bigwedge^{i-1} V'$; nếu $a + (b \wedge e)$ là bất biến dưới W, thì $a$ và $b$ là bất biến dưới nhóm con $W'$ sinh bởi $s_1, \ldots, s_{l-1}$, và giả thiết quy nạp được áp dụng.)

b) Giả sử W là hữu hạn. Chứng minh, bằng cách sử dụng a), rằng, với mọi tự đồng cấu A của V,

Suy ra rằng, với mọi $A \in \operatorname{End}(V)$, tồn tại $w \in W$ sao cho $Aw$ không có điểm bất động khác không.

c) Cho $\Gamma$ là đồ thị có tập hợp các đỉnh là $\{1, l\}$, các cạnh là các tập hợp $\{i, j\}$ sao cho $e_i$ và $e_j$ không vuông góc. Chứng minh rằng V là một W-môđun đơn khi và chỉ khi $\Gamma$ liên thông và không rỗng.

d) Giả sử rằng V là một W-môđun đơn. Chứng minh rằng các W-môđun $\bigwedge^i V$ ($0 \leq i \leq l$) là đơn. (Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên $j$ sao cho đồ thị $\Gamma - \{j\}$ là liên thông. Lập luận bằng quy nạp theo $l$, và áp dụng giả thiết quy nạp cho không gian con $V'$ sinh bởi các $e_i, i \neq j$.) Chứng minh rằng các môđun này từng đôi một không đẳng cấu$^6$.