Exercice 2, § 3

Soient V un espace vectoriel réel de dimension finie, muni d’un produit scalaire, F un sous-groupe fini du groupe orthogonal de V engendré par des réflexions, Λ un sous-groupe discret de V stable par F, W le groupe de déplacements de V engendré par F et par les translations dont le vecteur appartient à Λ. Soit $\mathfrak{F}$ l’ensemble des hyperplans H de V tels que s_H ∈ F. Soit R l’ensemble des éléments de Λ qui sont orthogonaux à un élément de $\mathfrak{F}$. a) Pour que W soit engendré par des réflexions, il faut et il suffit que R engendre Λ. b) Dans $\mathbf{R}$² muni du produit scalaire ((x, y), (x', y')) ↦ xx' + yy', soient

F le groupe diédral engendré par les s_{Δ_i}, Λ le sous-groupe discret de $\mathbf{R}$² engendré par les e_i, sous-groupe qui est stable par F. Montrer que W n’est pas engendré par des réflexions.