Bài tập 2, § 3

Cho $V$ là một không gian vectơ thực hữu hạn chiều được trang bị một tích vô hướng, $F$ là một nhóm con hữu hạn của nhóm trực giao của $V$ sinh bởi các phép đối xứng, $\Lambda$ là một nhóm con rời rạc của $V$ ổn định dưới $F$, và $W$ là nhóm các phép dời của $V$ sinh bởi $F$ và các phép tịnh tiến theo một vectơ thuộc $\Lambda$. Cho $\mathfrak{H}$ là tập hợp các siêu phẳng $H$ của $V$ sao cho $s_H \in F$. Cho $R$ là tập hợp các phần tử của $\Lambda$ trực giao với một phần tử của $\mathfrak{H}$.

a) $W$ được sinh bởi các phép đối xứng khi và chỉ khi $R$ sinh ra $\Lambda$.

b) Trong $\mathbf{R}^2$ được trang bị tích vô hướng $((x, y), (x', y')) \mapsto xx' + yy'$, cho

$F$ là nhóm nhị diện sinh bởi các $s_{\Delta_i}$, và $\Lambda$ là nhóm con rời rạc của $\mathbf{R}^2$ sinh bởi các $e_i$, một nhóm con ổn định dưới $F$. Chứng minh rằng $W$ không được sinh bởi các phép đối xứng.