Exercice 7, § 3

Soit $q(\xi_1, \ldots, \xi_n) = \sum_{i,j} a_{ij} \xi_i \xi_j$ ($a_{ij} = a_{ji}$) une forme quadratique positive dégénérée sur $\mathbf{R}^n$, telle que $a_{ij} \leq 0$ pour $i \neq j$. On suppose que $\{1, 2, \ldots, n\}$ n’admet pas de partition I ∪ J telle que $a_{ij} = 0$ pour $i \in J, j \in J$.

a) Montrer que, si on fait $\xi_i = 0$, on obtient une forme positive non dégénérée par rapport à $\xi_1, \ldots, \xi_{i-1}, \xi_{i+1}, \ldots, \xi_n$.

b) Montrer que $a_{ii} > 0$ pour tout i. (Soit $(\zeta_1, \ldots, \zeta_n)$ un élément du noyau de q, avec $\zeta_1 > 0, \ldots, \zeta_n > 0$. Utiliser l’égalité $a_{1i} \zeta_1 + \cdots + a_{ni} \zeta_n = 0$.)

c) Montrer que si on remplace un seul des $a_{ij}$ par un $a'_{ij} < a_{ij}$, la nouvelle forme est non positive. (Utiliser l’égalité $\sum_{i,j} a_{ij} \zeta_i \zeta_j = 0$.)