Bài tập 7, § 3

Cho $q(\xi_1, \ldots, \xi_n) = \sum_{i,j} a_{ij} \xi_i \xi_j$ ($a_{ij} = a_{ji}$) là một dạng toàn phương dương suy biến trên $\mathbf{R}^n$, sao cho $a_{ij} \leqslant 0$ với $i \neq j$. Giả sử không có phân hoạch nào $I \cup J$ của $\{1, 2, \ldots, n\}$ sao cho $a_{ij} = 0$ với $i \in I, j \in J$.

a) Hãy chỉ ra rằng, nếu ta đặt $\xi_i = 0$, ta thu được một dạng toàn phương dương không suy biến theo các biến $\xi_1, \ldots, \xi_{i-1}, \xi_{i+1}, \ldots, \xi_n$.

b) Hãy chỉ ra rằng $a_{ii} > 0$ với mọi $i$. (Cho $(\zeta_1, \ldots, \zeta_n)$ là một phần tử của hạt nhân của $q$, với $\zeta_1 > 0, \ldots, \zeta_n > 0$. Sử dụng đẳng thức $a_{1i} \zeta_1 + \cdots + a_{ni} \zeta_n = 0$.)

c) Hãy chỉ ra rằng nếu ta thay thế một trong các $a_{ij}$ bởi một $a'_{ij} < a_{ij}$ nào đó, thì dạng mới là không dương. (Sử dụng đẳng thức $\sum_{i,j} a_{ij} \zeta_i \zeta_j = 0$.)