Exercice 8, § 3

Soit $(a_{ij})$ une matrice réelle symétrique à n lignes et n colonnes.

a) On pose $s_k = \sum_{i=1}^n a_{ik}$. Quels que soient $\xi_1, \ldots, \xi_n \in \mathbf{R}$, on a

b) Soient $\zeta_1, \ldots, \zeta_n \in \mathbf{R}^*$. Posons $\sum_i \zeta_i a_{ik} = t_k$. Alors

(Remplacer, dans a), $\xi_i$ par $\frac{\xi_i}{\zeta_i}$ et $a_{ik}$ par $\zeta_i \zeta_k a_{ik}$.)

c) S’il existe des nombres $\zeta_1, \ldots, \zeta_n > 0$ tels que $\sum \zeta_i a_{ik} = 0$ ($k = 1, 2, \ldots, n$), et si $a_{ij} \leq 0$ pour $i \neq j$, alors la forme quadratique $\sum_{i,k} a_{ik} \xi_i \xi_k$ est positive dégénérée. (Utiliser b).)

d) Soit $\sum_{i,j} q_{ij} \xi_i \xi_j$ une forme quadratique sur $\mathbf{R}^n$ telle que $q_{ij} \leq 0$ pour $i \neq j$. On suppose que $\{1, 2, \ldots, n\}$ n’admet pas de partition I ∪ J telle que $q_{ij} = 0$ pour $i \in I$ et $j \in J$. Pour que la forme soit positive non dégénérée, il faut et il suffit qu’il existe $\zeta_1 > 0, \ldots, \zeta_n > 0$ tels que $\sum_i \zeta_i q_{ik} = 0$ ($k = 1, \ldots, n$).