Bài tập 8, § 3

Cho $(a_{ij})$ là một ma trận đối xứng thực có $n$ hàng và $n$ cột.

a) Đặt $s_k = \sum_{i=1}^n a_{ik}$. Khi đó, với mọi $\xi_1, \ldots, \xi_n \in \mathbf{R}$,

b) Cho $\zeta_1, \ldots, \zeta_n \in \mathbf{R}^*$. Đặt $\sum_i \zeta_i a_{ik} = t_k$. Khi đó

(Trong a), thay thế $\xi_i$ bởi $\frac{\xi_i}{\zeta_i}$ và $a_{ik}$ bởi $\zeta_i \zeta_k a_{ik}$.)

c) Nếu tồn tại các số $\zeta_1, \ldots, \zeta_n > 0$ sao cho $\sum_i \zeta_i a_{ik} = 0$ ($k = 1, 2, \ldots, n$), và nếu $a_{ij} \leqslant 0$ với $i \neq j$, thì dạng toàn phương $\sum_{i,k} a_{ik} \xi_i \xi_k$ là suy biến và dương. (Dùng b).)

d) Cho $\sum_{i,j} q_{ij} \xi_i \xi_j$ là một dạng toàn phương trên $\mathbf{R}^n$ sao cho $q_{ij} \leqslant 0$ với $i \neq j$. Giả sử không có phân hoạch nào $I \cup J$ của $\{1, 2, \ldots, n\}$ sao cho $q_{ij} = 0$ với $i \in I, j \in J$. Khi đó dạng là không suy biến và dương khi và chỉ khi tồn tại $\zeta_1 > 0, \ldots, \zeta_n > 0$ sao cho $\sum_i \zeta_i q_{ik} = 0$ ($k = 1, \ldots, n$).