Exercice 20, § 4

Groupes et algèbres de Lie, V

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Pour toute partie $\{s, s'\}$ de S telle que $m(s, s') = \infty$ , soit $r(s, s')$ un nombre réel $\leq -1$ . Munissons E de la forme bilinéaire $B_r$ telle que :

B_r(e_s, e_{s'}) = B_M(e_s, e_{s'}) = - \cos \frac{\pi}{m(s, s')} \quad \text{si } m(s, s') \neq \infty,

B_r(e_s, e_{s'}) = r(s, s') \quad \text{si } m(s, s') = \infty.

On définit, comme pour $B_M$ , les réflexions $\sigma_s$ de vecteur $e_s$ , laissant invariante la forme $B_r$ .

a) Montrer qu’il existe un homomorphisme $\sigma_r : W \to \mathbf{GL}(E)$ et un seul tel que $\sigma_r(g_s)$ soit égal à la réflexion $\sigma_s$ définie ci-dessus.

b) Montrer que les énoncés de la prop. 4, du th. 1, de ses corollaires, et du lemme 1 restent vrais pour $\sigma_r$ .

Solution

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