Exercice 5, § 4

Soit A le sous-anneau de $\mathbf{R}$ engendré par les nombres $2 \cdot \cos (\pi/m(s, s'))$. Montrer que A est un $\mathbf{Z}$-module libre de type fini, et que les matrices des $\sigma(w)$ pour $w \in W$ ont tous leurs coefficients dans A. En déduire que les coefficients des polynômes caractéristiques des $\sigma(w)$ sont des entiers algébriques.