Exercice 7, § 4

On suppose $(W, S)$ irréductible et $B_M$ positive.

a) Montrer que, pour toute partie T de S distincte de S, le groupe $W_T$ est fini (utiliser le th. 2 ainsi que le lemme 4 du § 3, n° 5).

b) Montrer que, si Card (S) $\geq 3$, tous les $m(s, s')$ sont finis.

c) On suppose W infini. Montrer que, si $T \subset S, T \neq S$, le groupe $\sigma(W_T)$ laisse stable un réseau de $\mathbf{R}^T$. En déduire que, si Card (S) $\geq 3$, tous les $m(s, s')$, $s \neq s'$, appartiennent à l’ensemble $\{2, 3, 4, 6\}$ (utiliser l’exerc. 6).