Exercice 2, § 6

*On suppose W irréductible. Soient C une chambre relativement à W, $(H_1, \ldots, H_l)$ ses murs, $e_i$ un vecteur non nul orthogonal à $H_i$. On suppose que $e_1, \ldots, e_r$ (resp. $e_{r+1}, \ldots, e_l$) sont deux à deux orthogonaux (cf. n° 2). Pour tout $u \in \mathbf{Z}$, on définit $H_u$ et $s_u$ par $H_u = H_k$ si $u \equiv k \pmod{l}$ et $s_u = s_{H_u}$.

a) Montrer que les éléments de $\mathfrak{H}$ sont les $s_1 s_2 \ldots s_{u-1} H_u$ pour $u = 1, 2, \ldots, lh/2$.

b) Soient $s' = s_1 \ldots s_r$ et $s'' = s_{r+1} \ldots s_l$, de sorte que $c = s's''$ est la transformation de Coxeter associée à la chambre ordonnée $C$. Soit $w_0$ l’élément de $W$ qui transforme $C$ en $-C$ (cf. § 4, exerc. 2). Montrer que, si $h$ est impair, on a :

c) Posons $S = \{s_1, \ldots, s_l\}$. Le couple $(W, S)$ est un système de Coxeter. Si $w \in W$, on note $l_S(w)$ la longueur de $w$ par rapport à $S$ (chap. IV, § 1, no 1). Montrer que l’on a :

En déduire que, avec les hypothèses de b), on a :

Montrer d’autre part que $l_S(w_0) = \mathrm{Card}(\mathfrak{H}) = hl/2$ (utiliser l’exerc. 22 du chap. IV, § 1). En déduire que $r = l/2$, et que $(s_1, s_2, \ldots, s_{l_{h/2}})$ est une décomposition réduite de $w_0$.

d) Montrer que, lorsque $h$ est pair, $(s_1, \ldots, s_{l_{h/2}})$ est une décomposition réduite de $w_0 = c^{h/2}$. (Même méthode.)