Bài tập 2, § 6

Giả sử rằng $W$ là bất khả quy. Gọi $C$ là một buồng đối với $W$, $(H_1, \ldots, H_l)$ là các vách của nó, và $e_i$ là một vectơ khác không trực giao với $H_i$. Giả sử rằng $e_1, \ldots, e_r$ (tương ứng $e_{r+1}, \ldots, e_l$) trực giao từng đôi một (xem no. 2). Với mọi $u \in \mathbf{Z}$, định nghĩa $H_u$ và $s_u$ bởi $H_u = H_k$ nếu $u \equiv k \pmod{l}$ và $s_u = s_{H_u}$.

a) Chứng minh rằng các phần tử của $\mathfrak{H}$ là các $s_1 s_2 \ldots s_{u-1} H_u$ với $u = 1, 2, \ldots, lh/2$.

b) Đặt $s' = s_1 \ldots s_r$ và $s'' = s_{r+1} \ldots s_l$, để $c = s's''$ là phép biến đổi Coxeter liên kết với buồng có thứ tự C. Gọi $w_0$ là phần tử của W biến C thành $-C$ (xem § 4, Bài tập 2). Chứng minh rằng, nếu $h$ lẻ,

c) Đặt $S = \{ s_1, \ldots, s_l \}$. Cặp $(W, S)$ là một hệ Coxeter. Nếu $w \in W$, ký hiệu bởi $l_S(w)$ độ dài của $w$ đối với S (Chương IV, § 1, no. 1). Chứng minh rằng

Suy ra rằng, với các giả thiết ở b),

Mặt khác, chứng minh rằng $l_S(w_0) = \operatorname{Card}(\mathfrak{H}) = hl/2$ (dùng Bài tập 22 của Chương IV, § 1). Suy ra rằng $r = l/2$ và rằng $(s_1, s_2, \ldots, s_{lh/2})$ là một phân tích giảm được của $w_0$.

d) Chứng minh rằng, nếu $h$ chẵn, $(s_1, \ldots, s_{lh/2})$ là một phân tích giảm được của $w_0 = c^{h/2}$. (Cùng phương pháp.)