Exercice 3, § 6

Groupes et algèbres de Lie, V

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Soient $K$ un anneau commutatif, $E$ un $K$ -module libre de base $(e_1, \ldots, e_l)$ , et $f_1, \ldots, f_l$ des éléments du dual de $E$ . On pose $a_{i,j} = f_i(e_j)$ . Si $1 \leq i \leq l$ , soit $s_i$ la pseudo-réflexion $s_{e_i, f_i}$ (§ 2, exerc. 1). On a :

s_i(e_j) = e_j - a_{i,j}e_i.

On pose $c = s_1 \ldots s_l$ , et $z_i = c(e_i)$ .

a) Pour $1 \leq i, k \leq l$ , on pose :

y_i^k = s_1 \ldots s_k(e_i) \quad \text{et} \quad y_i = s_1 \ldots s_{i-1}(e_i) = y_i^{i-1}.

On a $y_i^0 = e_i$ et $y_i^i = z_i$ .

Montrer que l’on a :

y_i^{k-1} - y_i^k = a_{ki} y_k.

En déduire les formules :

e_i = y_i + \sum_{k < i} a_{ki} y_k \\ z_i = y_i - \sum_{k \geq i} a_{ki} y_k.

b) Soit $C$ la matrice de $c$ par rapport à la base $(e_i)$ . Soient $U = (u_{ij})$ et $V = (v_{ij})$ les matrices définies par :

u_{ij} = \begin{cases} a_{ij} & \text{si } i < j \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} \qquad v_{ij} = \begin{cases} 0 & \text{si } i < j \\ a_{ij} & \text{sinon} \end{cases}

La matrice $I + U$ est inversible et de déterminant 1. Montrer que l’on a :

C = (I - V)(I + U)^{-1}.

En déduire que

\det (\lambda I - C) = \det ((\lambda - 1)I + V + \lambda U),

autrement dit :

\det (\lambda I - C) = \begin{vmatrix} (\lambda - 1) + a_{11} & \lambda a_{12} & \lambda a_{13} & \cdots & \lambda a_{1l} \\ a_{21} & (\lambda - 1) + a_{22} & \lambda a_{23} & \cdots & \lambda a_{2l} \\ a_{31} & a_{32} & (\lambda - 1) + a_{33} & \cdots & \lambda a_{3l} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{i1} & a_{i2} & a_{i3} & \cdots & (\lambda - 1) + a_{ii} \end{vmatrix}

c) Soit $\Gamma = (I, S)$ le graphe dont l’ensemble des sommets est $I = \{1, l\}$ et dont l’ensemble $S$ des arêtes est l’ensemble des parties $\{i, j\}$ à 2 éléments de $I$ telles que $a_{ij} \neq 0$ ou $a_{ji} \neq 0$ . Si $\alpha = \{i, j\}$ appartient à $S$ , on note $\sigma_\alpha$ la transposition de $i$ et de $j$ (considérée comme élément du groupe symétrique $\mathfrak{S}_l$ ), et l’on pose $a_\alpha = -a_{ij}a_{ji}$ .

Soit $\mathfrak{B}$ l’ensemble des parties de $S$ formées d’arêtes dont les sommets sont disjoints. Si $X \in \mathfrak{B}$ , on note $C(X)$ l’ensemble des $i \in I$ qui ne sont sommets d’aucune arête de $X$ , et l’on pose $\sigma_X = \prod_{\alpha \in X} \sigma_\alpha$ , $a_X = \prod_{\alpha \in X} a_\alpha$ .

Soit $\sigma \in \mathfrak{S}_l$ , et soit $d_\sigma$ le terme correspondant à $\sigma$ dans le développement du déterminant de $(\lambda - 1)I + V + \lambda U$ . Montrer que, si $\sigma$ est de la forme $\sigma_X$ , avec $X \in \mathfrak{B}$ , on a :

d_\sigma = a_X \lambda^{\operatorname{Card}(X)} \prod_{i \in C(X)} (\lambda - 1 + a_{ii}).

On suppose maintenant que $\Gamma$ est une forêt (Chap. IV, Annexe, n° 3). Montrer que, si $\sigma \in \mathfrak{S}_l$ n’est pas de la forme $\sigma_X$ avec $X \in \mathfrak{B}$ , on a $d_\sigma = 0$ . En déduire la formule :

\det (\lambda - c) = \sum_{X \in \mathfrak{B}} a_X \lambda^{\operatorname{Card}(X)} \prod_{i \in C(X)} (\lambda - 1 + a_{ii}).

d) On considère le polynôme

P(X) = \begin{vmatrix} X & a_{12} & \cdots & a_{1l} \\ a_{21} & X & \cdots & a_{2l} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{l1} & a_{l2} & \cdots & X \end{vmatrix}.

Aux hypothèses de c), on ajoute celle que $a_{ii} = 1$ pour tout $i$ . Montrer que l’on a alors :

\det (\lambda^2 - c) = \lambda^l P(\lambda + \lambda^{-1}).

Solution

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